The Higher Education and Research forge

Home My Page Projects Code Snippets Project Openings Complex Surface Machining Optimization
Summary Activity SCM

SCM Repository

authorMahfoud Herraz <mahfoud@debian>
Fri, 22 May 2020 13:51:51 +0000 (15:51 +0200)
committerMahfoud Herraz <mahfoud@debian>
Fri, 22 May 2020 13:51:51 +0000 (15:51 +0200)
Publis/JIM2020/v1.0/main.tex

index 10dc999..13639e0 100644 (file)
@@ -545,7 +545,6 @@ Besides, the second test surface appeared also in \cite{vu_new_2018} where a par
 \section{Proof of formulas used in incremental calculation of covariance matrix}
 \label{sec:app1}
 \subsection{Add}\label{sec:appA1}
-\hl{TODO}
 
 Let $n\in\mathbb{N}$ be an integer, $(x_i)_{1\leq i\leq n}\in\mathbb{R}^n$ a sample of real values of mean $\mbox{E}_n$ and variance $\mbox{Var}_n$. Let $x_{n+1}\in\mathbb{R}$ be a new real, we seek to calculate the mean $\mbox{E}_{n+1}$ and the variance $\mbox{Var}_{n+1}$ of the sample $(x_i)_{1\leq i\leq n+1}$ from $\mbox{E}_n$ et $\mbox{Var}_n$:
 \begin{equation}
@@ -600,11 +599,10 @@ Let $\mathbf{X}_{n+1}\in\mathbb{R}^p$ be a new vector to be added to the sample,
 
 Equation \ref{addcovar} enables the update of covariance matrix $\Sigma_{n+1}$ of a zone (cluster) that initially contains $n$ meshes of feature vectors $\left(\mathbf{X}_i\right)_{1\leq i\leq n}$ (and covariance matrix $\Sigma_n$), after the addition of a new mesh which feature vector is $\mathbf{X}_{n+1}$.
 \subsection{Remove}\label{sec:appA2}
-\hl{TODO}
 
-Dans ce cas, on ne peut pas retirer une maille à une zone vide, donc $n\in\mathbb{N}^*$. De plus si $n=1$, et qu'on retire une maille, la zone devient vide et sa matrice de covariance est nulle. Dans la suite on suppose que $n\geq2$~:
+In this case, empty zones are not treated since there is nothing to remove. Also, zones containing a single mesh are not treated since it becomes empty after removing the mesh and the covariance matrix is null. In what follows we suppose $n\geq2$:
 
-Soit $(x_i)_{1\leq i\leq n}\in\mathbb{R}^n$ un échantillon statistique de moyenne $\mbox{E}_n$ et de variance $\mbox{Var}_n$, on cherche à calculer la moyenne $\mbox{E}_{n-1}$ et la variance $\mbox{Var}_{n-1}$ de l’échantillon $(x_i)_{1\leq i\leq n-1}$ à partir de $\mbox{E}_n$ et $\mbox{Var}_n$~:
+Let $(x_i)_{1\leq i\leq n}\in\mathbb{R}^n$ a scalar sample of means $\mbox{E}_n$ and variance $\mbox{Var}_n$, we seek to calculate the mean $\mbox{E}_{n-1}$ and the variance $\mbox{Var}_{n-1}$ of the sample $(x_i)_{1\leq i\leq n-1}$ from $\mbox{E}_n$ et $\mbox{Var}_n$~:
 \begin{equation}
  \begin{split}
   \mbox{E}_{n-1}&=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n-1} x_i=\frac{1}{n-1}\left(\sum_{i=1}^n{x_i} - x_n\right) \\
@@ -612,7 +610,7 @@ Soit $(x_i)_{1\leq i\leq n}\in\mathbb{R}^n$ un échantillon statistique de moyen
  \end{split}
  \label{removemean}
 \end{equation}
-Pour la variance on a~:
+As for the variance:
 \begin{equation}
  \begin{split}
   \mbox{Var}_{n-1}&=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n-1}{x_i^2}-\mbox{E}_{n-1}^2=\frac{n}{n-1}\sum_{i=1}^n{x_i^2}-\frac{x_n^2}{n-1}-\mbox{E}^2_{n-1}\\
@@ -620,11 +618,11 @@ Pour la variance on a~:
  \end{split}
  \label{removevar}
 \end{equation}
-On peut trouver une relation similaire pour la covariance de deux variables~: Soit $(x_i)_{1\leq i\leq n}\in\mathbb{R}^n$ et \newline$(y_i)_{1\leq i\leq n}\in\mathbb{R}^n$ deux échantillons statistiques de moyennes $\mbox{E}_{x,n}$ et $\mbox{E}_{y,n}$, on note $\mbox{Cov}_n$ leur covariance~:
+A similar equation can be found for the covariance of two variables: Let $(x_i)_{1\leq i\leq n}\in\mathbb{R}^n$ and $(y_i)_{1\leq i\leq n}\in\mathbb{R}^n$ be two scalar samples of means $\mbox{E}_{x,n}$ and $\mbox{E}_{y,n}$ respectively, $\mbox{Cov}_n$ denotes their covariance:
 \begin{equation*}
  \mbox{Cov}_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n {x_iy_i} - \mbox{E}_{x,n}\mbox{E}_{y,n}
 \end{equation*}
-Ainsi, la covariance $\mbox{Cov}_{n-1}$ des variables $(x_i)_{1\leq i\leq n-1}$ et $(y_i)_{1\leq i\leq n-1}$ s'écrit~:
+Hence, the covariance $\mbox{Cov}_{n-1}$ of variables $(x_i)_{1\leq i\leq n-1}$ et $(y_i)_{1\leq i\leq n-1}$ is written:
 \begin{equation}
  \begin{split}
   \mbox{Cov}_{n-1}&=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n-1}{x_iy_i} - \mbox{E}_{x,n-1}\mbox{E}_{y,n-1}=\frac{n}{n-1}\sum_{i=1}^{n}{\frac{x_iy_i}{n}} - \frac{x_ny_n}{n-1} - \mbox{E}_{x,n-1}\mbox{E}_{y,n-1} \\
@@ -633,15 +631,13 @@ Ainsi, la covariance $\mbox{Cov}_{n-1}$ des variables $(x_i)_{1\leq i\leq n-1}$
  \label{removecov}
 \end{equation}
 
-À partir des équations scalaires \ref{removemean}, \ref{removevar}, \ref{removecov} on peut construire une équation matricielle pour mettre à jour la matrice de covariance d'un échantillon statistique de vecteurs.
-
-Soit $p\in\mathbb{N}^*$, $n\geq2$, $(\mathbf{X}_i)_{1\leq i\leq n}\in\left(\mathbb{R}^p\right)^n$ un échantillon statistique de vecteurs de $\mathbb{R}^p$. On note $\mathbf{E}_n$ la moyenne de l’échantillon et $\Sigma_n$ sa matrice de covariance. La matrice de covariance de l'échantillon $\left(\mathbf{X}_i\right)_{1\leq i\leq n-1}$ s'écrit alors~:
+Using scalar equations \ref{removemean}, \ref{removevar} and \ref{removecov}, we can find a matrix equation to update the covariance matrix in the case of vectors samples. Let $p\in\mathbb{N}^*$ be the dimension of vectors, $n\geq2$ their number and $(\mathbf{X}_i)_{1\leq i\leq n}\in\left(\mathbb{R}^p\right)^n$ a sample of vectors of $\mathbb{R}^p$. $\mathbf{E}_n$ denotes the mean vector of the sample while $\Sigma_n$ denotes its covariance matrix. Thus, the covariance matrix of the reduced sample $\left(\mathbf{X}_i\right)_{1\leq i\leq n-1}$ is written:
 \begin{equation}
  \Sigma_{n-1}=\frac{n}{n-1}\left(\Sigma_n+\mathbf{E}_n\mathbf{E}_n^T\right)-\frac{\mathbf{X}_n\mathbf{X}_n^T}{n-1}-\left(\frac{n}{n-1}\mathbf{E}_n-\frac{\mathbf{X}_n}{n-1}\right)\left(\frac{n}{n-1}\mathbf{E}_n-\frac{\mathbf{X}_n}{n-1}\right)^T
  \label{removecovar}
 \end{equation}
 
-L'équation \ref{removecovar} permet de mettre à jour la matrice de covariance $\Sigma_{n-1}$ d'une zone qui contient initialement $n$ mailles de vecteurs caractéristiques $\left(\mathbf{X}_i\right)_{1\leq i\leq n}$ (de matrice de covariance $\Sigma_n$), après retrait de la maille $n$ de vecteur $\mathbf{X}_n$.
+Equation \ref{removecovar} enables to update the covariance matrix $\Sigma_{n-1}$ of a zone containing initially $n$ meshes of feature-vectors $\left(\mathbf{X}_i\right)_{1\leq i\leq n}$ (and covariance matrix $\Sigma_n$), after removing the $n$-th mesh which feature-vector is $\mathbf{X}_n$.
 
 \end{document}