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SCM Repository

authorJean-Max Redonnet <jean-max.redonnet@unniv-tlse3.fr>
Tue, 19 May 2020 16:52:13 +0000 (18:52 +0200)
committerJean-Max Redonnet <jean-max.redonnet@unniv-tlse3.fr>
Tue, 19 May 2020 16:52:13 +0000 (18:52 +0200)
Memos/isocrete.png
Memos/isocrete.tex

index bc82329..aac5733 100644 (file)
Binary files a/Memos/isocrete.png and b/Memos/isocrete.png differ
index f5f34c1..e1bd27d 100644 (file)
@@ -40,7 +40,7 @@ La surface est $\mathbf{S}(u,v) = \begin{pmatrix} x(u,v) \\ y(u,v) \\ z(u,v)\end
 
 La trajectoire $P$ est connue.
 
-La trajectoire en cours de calcul est la trajectoire $Q$. Elle est connue jusqu'au point $j$.
+La trajectoire en cours de calcul est la trajectoire $Q$. Elle est connue jusqu'au point $\mathbf{Q}_j\begin{pmatrix} x_j \\ y_j \\ z_j \end{pmatrix}$.
 
 \begin{figure}[h]
   \centering
@@ -48,11 +48,13 @@ La trajectoire en cours de calcul est la trajectoire $Q$. Elle est connue jusqu'
   % isocrete.png: 2103x1361 px, 300dpi, 17.81x11.52 cm, bb=0 0 505 327
 \end{figure}
 
-Le point à calculer est le point $\mathbf{Q} = \begin{pmatrix} x(u_q,v_q) \\ y(u_q,v_q) \\ z(u_q,v_q)\end{pmatrix}$
+Le point à calculer est le point $\mathbf{Q} = \begin{pmatrix} x(u,v) \\ y(u,v) \\ z(u,v)\end{pmatrix}$
 
 L'indice $i$ de la trajectoire $P$ est défini de telle sorte que le plan perpendiculaire à $\mathbf{Q}_{j-1}\mathbf{Q}_{j}$ coupe $P$ entre $\mathbf{P}_{i-1}$ et $\mathbf{P}_{i}$.
 
-La projection orthogonale de $\mathbf{Q}$ sur $P$ est $\mathbf{K} = \begin{pmatrix} x_k \\ y_k \\ z_k \end{pmatrix}$. En première approche, $\mathbf{K}$ est supposé compris entre $\mathbf{P}_{i}$ et $\mathbf{P}_{i+1}$ et on a $\mathbf{P}_{i}\mathbf{K} = k \mathbf{P}_{i}\mathbf{P}_{i+1}$
+La projection orthogonale de $\mathbf{Q}$ sur $P$ est $\mathbf{K} = \begin{pmatrix} x_k \\ y_k \\ z_k \end{pmatrix}$.
+
+En première approche, $\mathbf{K}$ est supposé compris entre $\mathbf{P}_{i}\begin{pmatrix} x_i \\ y_i \\ z_i \end{pmatrix} $ et $\mathbf{P}_{i+1}\begin{pmatrix} x_{i+1} \\ y_{i+1} \\ z_{i+1} \end{pmatrix}$ et on a $\mathbf{P}_{i}\mathbf{K} = k \mathbf{P}_{i}\mathbf{P}_{i+1}$
 
 Le pas longitudinal est $\sfd = \mathbf{Q}_{j}\mathbf{Q}$
 
@@ -62,39 +64,39 @@ Le pas transversal est $sod =  \mathbf{Q}\mathbf{K}$
 Des données précédentes, on extrait les équations suivantes~:\\
 $\bullet$ $\mathbf{P}_{i}\mathbf{K} = k \mathbf{P}_{i}\mathbf{P}_{i+1}$ d'où
 \begin{align}
-  x_k-x_p = k(x_{p1}-x_p) \label{eq1} \\
-  y_k-y_p = k(y_{p1}-y_p) \label{eq2} \\
-  z_k-z_p = k(z_{p1}-z_p) \label{eq3}
+  x_k-x_i = k(x_{i+1}-x_i) \label{eq1} \\
+  y_k-y_i = k(y_{i+1}-y_i) \label{eq2} \\
+  z_k-z_i = k(z_{i+1}-z_i) \label{eq3}
 \end{align}
 $\bullet$ $\mathbf{P}_{i}\mathbf{P}_{i+1}\; \bot \; \mathbf{K}\mathbf{Q} $ d'où
 \begin{equation}
-  (x_{p1}-x_p)(x_k-x(u_q,v_q)) +(y_{p1}-y_p)(y_k-y(u_q,v_q)) + (z_{p1}-z_p)(z_k-z(u_q,v_q)) = 0 \label{eq4}
+  (x_{i+1}-x_i)(x_k-x(u,v)) +(y_{i+1}-y_i)(y_k-y(u,v)) + (z_{i+1}-z_i)(z_k-z(u,v)) = 0 \label{eq4}
 \end{equation}
 $\bullet$ $sod = \mathbf{K}\mathbf{Q}$ d'où
 \begin{equation}
-  (x(u_q,v_q)-x_k)^2+(y(u_q,v_q)-y_k)^2+(z(u_q,v_q)-z_k)^2 = sod^2 \label{eq5}
+  (x(u,v)-x_k)^2+(y(u,v)-y_k)^2+(z(u,v)-z_k)^2 = sod^2 \label{eq5}
 \end{equation}
 $\bullet$ $\sfd = \mathbf{Q}_{j}\mathbf{Q}$ d'où
 \begin{equation}
-  (x(u_q,v_q)-x_q)^2+(y(u_q,v_q)-y_q)^2+(z(u_q,v_q)-z_q)^2 = \sfd^2 \label{eq6}
+  (x(u,v)-x_j)^2+(y(u,v)-y_j)^2+(z(u,v)-z_j)^2 = \sfd^2 \label{eq6}
 \end{equation}
 
 Des équations (\ref{eq1}), (\ref{eq2}) et (\ref{eq3}), on tire
 \begin{eqnarray*}
-  x_k = k(x_{p1}-x_p) + x_p \\
-  y_k = k(y_{p1}-y_p) + y_p \\
-  z_k = k(z_{p1}-z_p) + z_p
+  x_k = k(x_{i+1}-x_i) + x_i \\
+  y_k = k(y_{i+1}-y_i) + y_i \\
+  z_k = k(z_{i+1}-z_i) + z_i
 \end{eqnarray*}
 d'où, dans (\ref{eq4}) et (\ref{eq5}) ($\mathbf{K}$ n'intervient pas dans  (\ref{eq6}))~:
 
 \begin{multline}
-  (x_{p1}-x_p)(k(x_{p1}-x_p) + x_p-x(u_q,v_q)) \\ + (y_{p1}-y_p)(k(y_{p1}-y_p) + y_p-y(u_q,v_q)) \\ + (z_{p1}-z_p)(k(z_{p1}-z_p) + z_p-z(u_q,v_q)) = 0 \label{eq4.1}
+  (x_{i+1}-x_i)(k(x_{i+1}-x_i) + x_i-x(u,v)) \\ + (y_{i+1}-y_i)(k(y_{i+1}-y_i) + y_i-y(u,v)) \\ + (z_{i+1}-z_i)(k(z_{i+1}-z_i) + z_i-z(u,v)) = 0 \label{eq4.1}
 \end{multline}
 \begin{multline}
-  (x(u_q,v_q)-k(x_{p1}-x_p) + x_p)^2 \\ + (y(u_q,v_q)-k(y_{p1}-y_p) + y_p)^2 \\ + (z(u_q,v_q)-k(z_{p1}-z_p) + z_p)^2 = sod^2 \label{eq5.1}
+  (x(u,v)-k(x_{i+1}-x_i) + x_i)^2 \\ + (y(u,v)-k(y_{i+1}-y_i) + y_i)^2 \\ + (z(u,v)-k(z_{i+1}-z_i) + z_i)^2 = sod^2 \label{eq5.1}
 \end{multline}
 
-Les équations (\ref{eq6}), (\ref{eq4.1}) et (\ref{eq5.1}) constituent alors un système de 3 équations à 3 inconnues ($u_q$, $v_q$ et $k$).
+Les équations (\ref{eq6}), (\ref{eq4.1}) et (\ref{eq5.1}) constituent alors un système de 3 équations à 3 inconnues ($u$, $v$ et $k$).
 
 \newpage
 \section{Résolution}
@@ -119,12 +121,12 @@ On prend $sod$ au point  $\mathbf{P}_{i}$
 On résout le système 
 \begin{align}
     \begin{cases}
-          (x(u_q,v_q)-x_q)^2+(y(u_q,v_q)-y_q)^2+(z(u_q,v_q)-z_q)^2 & = \sfd^2 \\
+          (x(u,v)-x_j)^2+(y(u,v)-y_j)^2+(z(u,v)-z_j)^2 & = \sfd^2 \\
           \begin{split}
-          (x_{p1}-x_p)(k(x_{p1}-x_p) +  x_p-x(u_q,v_q)) \\ + (y_{p1}-y_p)(k(y_{p1}-y_p) +  y_p-y(u_q,v_q)) \\  + (z_{p1}-z_p)(k(z_{p1}-z_p) + z_p-z(u_q,v_q)) & = 0
+          (x_{i+1}-x_i)(k(x_{i+1}-x_i) +  x_i-x(u,v)) \\ + (y_{i+1}-y_i)(k(y_{i+1}-y_i) +  y_i-y(u,v)) \\  + (z_{i+1}-z_i)(k(z_{i+1}-z_i) + z_i-z(u,v)) & = 0
           \end{split} \\
           \begin{split}
-            (x(u_q,v_q)-k(x_{p1}-x_p) + x_p)^2 \\ + (y(u_q,v_q)-k(y_{p1}-y_p) + y_p)^2 \\ + (z(u_q,v_q)-k(z_{p1}-z_p) + z_p)^2 & = sod^2
+            (x(u,v)-k(x_{i+1}-x_i) + x_i)^2 \\ + (y(u,v)-k(y_{i+1}-y_i) + y_i)^2 \\ + (z(u,v)-k(z_{i+1}-z_i) + z_i)^2 & = sod^2
           \end{split}
     \end{cases}
 \end{align}