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SCM Repository

authorJean-Max Redonnet <jean-max.redonnet@unniv-tlse3.fr>
Mon, 18 May 2020 15:04:22 +0000 (17:04 +0200)
committerJean-Max Redonnet <jean-max.redonnet@unniv-tlse3.fr>
Mon, 18 May 2020 15:04:22 +0000 (17:04 +0200)
Memos/isocrete.png [new file with mode: 0644]
Memos/isocrete.tex [new file with mode: 0644]

diff --git a/Memos/isocrete.png b/Memos/isocrete.png
new file mode 100644 (file)
index 0000000..bc82329
Binary files /dev/null and b/Memos/isocrete.png differ
diff --git a/Memos/isocrete.tex b/Memos/isocrete.tex
new file mode 100644 (file)
index 0000000..f5f34c1
--- /dev/null
@@ -0,0 +1,137 @@
+\documentclass[a4paper,12pt]{article}
+
+% Encodages
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[T1]{fontenc}
+\usepackage[french]{babel}
+
+% Math
+\usepackage{amsmath,amssymb}
+
+% Images
+\usepackage{graphicx}
+
+% En-tetes
+\usepackage{fancyhdr}
+
+% Définition des marges du document
+\usepackage{vmargin}
+\setmarginsrb{2cm}{1.5cm}{2cm}{1.5cm}{0cm}{0cm}{0cm}{0cm}
+
+% Informations générales
+\title{MEMO Stratégie isocrête}
+\author{Jean-Max Redonnet}
+\date{\today}
+
+\newcommand\sfd{s\!f\!d}
+
+\renewcommand{\baselinestretch}{1.2}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\begin{abstract}
+    Calcul d'un point dans la stratégie isocrête
+\end{abstract}
+
+\section{Données}
+La surface est $\mathbf{S}(u,v) = \begin{pmatrix} x(u,v) \\ y(u,v) \\ z(u,v)\end{pmatrix}$
+
+La trajectoire $P$ est connue.
+
+La trajectoire en cours de calcul est la trajectoire $Q$. Elle est connue jusqu'au point $j$.
+
+\begin{figure}[h]
+  \centering
+  \includegraphics[width=10cm]{isocrete.png}
+  % isocrete.png: 2103x1361 px, 300dpi, 17.81x11.52 cm, bb=0 0 505 327
+\end{figure}
+
+Le point à calculer est le point $\mathbf{Q} = \begin{pmatrix} x(u_q,v_q) \\ y(u_q,v_q) \\ z(u_q,v_q)\end{pmatrix}$
+
+L'indice $i$ de la trajectoire $P$ est défini de telle sorte que le plan perpendiculaire à $\mathbf{Q}_{j-1}\mathbf{Q}_{j}$ coupe $P$ entre $\mathbf{P}_{i-1}$ et $\mathbf{P}_{i}$.
+
+La projection orthogonale de $\mathbf{Q}$ sur $P$ est $\mathbf{K} = \begin{pmatrix} x_k \\ y_k \\ z_k \end{pmatrix}$. En première approche, $\mathbf{K}$ est supposé compris entre $\mathbf{P}_{i}$ et $\mathbf{P}_{i+1}$ et on a $\mathbf{P}_{i}\mathbf{K} = k \mathbf{P}_{i}\mathbf{P}_{i+1}$
+
+Le pas longitudinal est $\sfd = \mathbf{Q}_{j}\mathbf{Q}$
+
+Le pas transversal est $sod =  \mathbf{Q}\mathbf{K}$
+
+\section{Équations}
+Des données précédentes, on extrait les équations suivantes~:\\
+$\bullet$ $\mathbf{P}_{i}\mathbf{K} = k \mathbf{P}_{i}\mathbf{P}_{i+1}$ d'où
+\begin{align}
+  x_k-x_p = k(x_{p1}-x_p) \label{eq1} \\
+  y_k-y_p = k(y_{p1}-y_p) \label{eq2} \\
+  z_k-z_p = k(z_{p1}-z_p) \label{eq3}
+\end{align}
+$\bullet$ $\mathbf{P}_{i}\mathbf{P}_{i+1}\; \bot \; \mathbf{K}\mathbf{Q} $ d'où
+\begin{equation}
+  (x_{p1}-x_p)(x_k-x(u_q,v_q)) +(y_{p1}-y_p)(y_k-y(u_q,v_q)) + (z_{p1}-z_p)(z_k-z(u_q,v_q)) = 0 \label{eq4}
+\end{equation}
+$\bullet$ $sod = \mathbf{K}\mathbf{Q}$ d'où
+\begin{equation}
+  (x(u_q,v_q)-x_k)^2+(y(u_q,v_q)-y_k)^2+(z(u_q,v_q)-z_k)^2 = sod^2 \label{eq5}
+\end{equation}
+$\bullet$ $\sfd = \mathbf{Q}_{j}\mathbf{Q}$ d'où
+\begin{equation}
+  (x(u_q,v_q)-x_q)^2+(y(u_q,v_q)-y_q)^2+(z(u_q,v_q)-z_q)^2 = \sfd^2 \label{eq6}
+\end{equation}
+
+Des équations (\ref{eq1}), (\ref{eq2}) et (\ref{eq3}), on tire
+\begin{eqnarray*}
+  x_k = k(x_{p1}-x_p) + x_p \\
+  y_k = k(y_{p1}-y_p) + y_p \\
+  z_k = k(z_{p1}-z_p) + z_p
+\end{eqnarray*}
+d'où, dans (\ref{eq4}) et (\ref{eq5}) ($\mathbf{K}$ n'intervient pas dans  (\ref{eq6}))~:
+
+\begin{multline}
+  (x_{p1}-x_p)(k(x_{p1}-x_p) + x_p-x(u_q,v_q)) \\ + (y_{p1}-y_p)(k(y_{p1}-y_p) + y_p-y(u_q,v_q)) \\ + (z_{p1}-z_p)(k(z_{p1}-z_p) + z_p-z(u_q,v_q)) = 0 \label{eq4.1}
+\end{multline}
+\begin{multline}
+  (x(u_q,v_q)-k(x_{p1}-x_p) + x_p)^2 \\ + (y(u_q,v_q)-k(y_{p1}-y_p) + y_p)^2 \\ + (z(u_q,v_q)-k(z_{p1}-z_p) + z_p)^2 = sod^2 \label{eq5.1}
+\end{multline}
+
+Les équations (\ref{eq6}), (\ref{eq4.1}) et (\ref{eq5.1}) constituent alors un système de 3 équations à 3 inconnues ($u_q$, $v_q$ et $k$).
+
+\newpage
+\section{Résolution}
+\paragraph{Détermination de $i$~:}
+\begin{verbatim}
+i = 0
+dotprod = -1
+while(dotprod < 0){
+    i++
+    dotprod = Vectors.dot(Q(j-1)Q(j) . Q(j)P(i))
+}
+i = i+1
+\end{verbatim}
+
+\paragraph{Détermination de $\sfd$~: }
+Valeur fixe, par exemple 1mm
+
+\paragraph{Détermination de $sod$~: }
+On prend $sod$ au point  $\mathbf{P}_{i}$
+
+\paragraph{Résolution du système~: }
+On résout le système 
+\begin{align}
+    \begin{cases}
+          (x(u_q,v_q)-x_q)^2+(y(u_q,v_q)-y_q)^2+(z(u_q,v_q)-z_q)^2 & = \sfd^2 \\
+          \begin{split}
+          (x_{p1}-x_p)(k(x_{p1}-x_p) +  x_p-x(u_q,v_q)) \\ + (y_{p1}-y_p)(k(y_{p1}-y_p) +  y_p-y(u_q,v_q)) \\  + (z_{p1}-z_p)(k(z_{p1}-z_p) + z_p-z(u_q,v_q)) & = 0
+          \end{split} \\
+          \begin{split}
+            (x(u_q,v_q)-k(x_{p1}-x_p) + x_p)^2 \\ + (y(u_q,v_q)-k(y_{p1}-y_p) + y_p)^2 \\ + (z(u_q,v_q)-k(z_{p1}-z_p) + z_p)^2 & = sod^2
+          \end{split}
+    \end{cases}
+\end{align}
+avec Newton-Raphson~:
+
+Si on trouve une valeur de $k$ inférieure à 0, cela signifie que $\mathbf{K}$ est entre $\mathbf{P}_{i-1}$ et $\mathbf{P}_{i}$. On recommence avec les équations (\ref{eq1}), (\ref{eq2}) et (\ref{eq3}) correspondantes.
+
+Si on trouve une valeur de $k$ supérieure à 1, cela signifie que $\mathbf{K}$ est entre $\mathbf{P}_{i+1}$ et $\mathbf{P}_{i+2}$. On recommence avec les équations (\ref{eq1}), (\ref{eq2}) et (\ref{eq3}) correspondantes.
+
+\end{document}